001 上一章注释[001]

　　【写在8月25日20:53，发布后发现上下标给我全滤了，我调整一下，过会儿再看】

　　硬核程度：☆☆☆☆☆

　　涉及领域：计算理论

　　大标题：三种函数外加三种操作怎样解决所有可计算问题？为什么偏递归函数可以制造无限循环？

　　可能是全网最不报菜名、最不装比的解释。

　　以下开始：

　　首先，什么是可计算？

　　可计算就是指，有一个算法，我们把它交付给计算机后，计算机可以像执行一个函数一样，接受我们给它的输入，然后返回输出，这个输出就是我们想要的答案。

　　为了方便描述，先行约定一下数学符号。

　　假设我们有一个乘法器，叫做mult，它可以接受一对整数作为输入，把它们相乘后输出一个整数。

　　比如，输入(3，4)输出12

　　输入(6，2)输出12

　　输入(0，6)输出0

　　这时，我们把这些输入数对叫做domain，输出的一个数叫做codomain。如果我们用Z来代表全体整数集，那么这个平平无奇的乘法器就可以用数学符号表示为：

　　mult:Z^2→Z

　　中间的这个→表示这个mult是一个totalfunction，也许可以称作“全函数”吧，意思是每一个domain里的输入，都能对应一个codomain里的输出。

　　与全函数相对应的是，是“偏函数”。对于偏函数，对于有些输入，它并不能给出输出。比如一个除法器，当我们给它(6，0)时，它输出不了任何东西。这个除法器可以表示为：

　　div:Z^2—Z

　　这里的单横线代表这是一个偏函数（其实应该用半箭头表示，但在这里打不出来）

　　好了，定义好符号之后，就可以清爽地描述我们的三种基本函数：后继函数、零函数、投影函数。

　　后继函数：succ:N→N，succ(x)=x+1，N代表自然数集。我们给它2，它输出3；给它3它输出4。总之就是往上+1.

　　零函数：zero:Nn→N，zero()=0。不管给它什么，它都输出0.

　　投影函数：projn:Nn→N，projin(x1，...，xn)=xi。它接受长度为n的输入，输出第i个自然数。比如，proj22(1，3)=3。

　　好了，盖大楼的砖块一共就这么三种，接下来把它们组合在一起就行了。

　　我们定义一个叫“组合”的函数f，它的功能是把n个函数组合在一起：

　　f:Nn—N

　　具体的，如果每一个被组合的函数g都可以接受同一组参数(x1，...，xm)，那么组合n个g函数的操作可以被表示为：

　　f·[g1，...，gn]:Nm—N

　　展开为：

　　f·[g1，...，gn](x1，...，xm)=f(g1(x1，...，xm)，...，gn(x1，...，xm))

　　举个栗子：

　　我们构造一个函数one，one(x)=1，即：不论给它什么输入，它都输出为1，那么：

　　one(x)=succ(0)=succ(zero(x))

　　即：succ·[zero]=one

　　验证一下：

　　succ·[zero](x)=succ(zero(x))=succ(0)=1

　　succ和zero两个基本函数组成了我们要的one，完美。

　　如果栗子再复杂一点，我们想要一个加法器add，add(x，y)=x+y，怎么用那三种基本函数组合？

　　也很简单，从具体输入入手：

　　add(3，2)=succ(add(3，1))=succ(succ(add(3，0)))=succ(succ(3))

　　似乎只需要组合多个后继函数就可以了呢。

　　当然，这里面有一个毛病，在于我们在没有定义好add的前提下，先入为主地认为add(3，0)=3.

　　所以我们不能认为自己就这么简单地构造了add，只能退而求其次地得到以下关系：

　　add(x，y+1)=succ(add(x，y))，这个式子是十分严谨的。

　　更具体地，要想算出add(x，y+1)，就要知道add(x，0)=x，我们称add(x，0)=x为基准条件；add(x，y+1)=succ(add(x，y))为递归条件。

　　看起来就差临门一脚了，只要我们能用三种基本函数构造出add(x，0)=x，就能得到add(x，y+1)，也就能构造出我们想要的加法器。

　　也很显然，add(x，0)=x=proj11

　　于是，我们的加法器有了。

　　这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”，它的定义是这样的：

　　基准函数f:Nn—N

　　递归函数g:Nn+2—N

　　使用f和g的原始递归h=ρn(f，g):Nn+1—N